مدونة الرياضيات : الدوال المثلثية العكسية

في الرياضيات،الدوال المثلثية العكسية هي الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة.

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية

تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}} \end{align}$

المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا:

$\begin{align} \frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\ \frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1 \end{align}$

على سبيل المثال، إذا توفر $\theta = \arcsin x \!$ , فإنه يُحصل على ما يلي:

$\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{d \theta}{\cos \theta d \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

المتسلسلات غير المنتهية

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية

فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان كتويض لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية.

$\arctan z=\cfrac{z} {1+\cfrac{(1z)^2} {3-1z^2+\cfrac{(3z)^2} {5-3z^2+\cfrac{(5z)^2} {7-5z^2+\cfrac{(7z)^2} {9-7z^2+\ddots}}}}} =\cfrac{z} {1+\cfrac{(1z)^2} {3+\cfrac{(2z)^2} {5+\cfrac{(3z)^2} {7+\cfrac{(4z)^2} {9+\ddots\,}}}}}\,$

مدونة الرياضيات

الخميس، 9 مايو 2013

الدوال المثلثية العكسية

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية

المتسلسلات غير المنتهية

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق