قانون جيب التمام أو قانون التجيب أو مبرهنة الكاشي هي مبرهنة خاصة بهندسة المثلثات وهي تعميم لمبرهنة فيتاغورس
في المثلثات التي ليست لها زاوية قائمة: وهي تربط الضلع الثالث لمثلث
بالضلعين الآخرين وجيب تمام الزاوية المكونة لهما. وقد سميت بهذا الاسم
نسبة إلى العالم غياث الدين الكاشي.
نعتبر مثلث ABC، حيث نستعمل المفاهيم الموجودة في الشكل1: من جهة α, β وγ بالنسبة للزوايا, ومن جهة أخرى a, b وc بالنسبة للأضلاع. مبرهنة الكاشي هي:
.
في كتاب العناصر لإقليدس، نجد مقاربة هندسية لتعميم مبرهنة فيثاغورس: نجد في الكتاب2 العبارتين 12 و 13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة وفي مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود الدوال المثلثية (آنذاك) وكذلك الجبر أدى إلى استعمال المساحات.
فالعبارة 12 : في المثلث المنفرج الزاوية يكون مساحة المربع المنشأ على الضلع المقابل للزاوية المنفرجة مساوياً لمجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين مضافاً إلى هذا المجموع ضعف مساحة المستطيل الذي بعداه طول أحد هذين الضلعين وطول مسقط الضلع الآخر عليه. وفي الشكل المقابل المثلث ABC مثلث منفرج الزاوية في C والقطعة المستقيمة CH هي مسقط الضلع BC على الضلع AC (انظر شكل2) وبالتالي وطبقاً للنظرية يكون
النظرية تستعمل في المثلثات(انظر شكل. 3)حل مثلث، أي تحديد:
الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :
الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين
الشكل 5 (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع :
بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة
نعتبر مثلث ABC، حيث نستعمل المفاهيم الموجودة في الشكل1: من جهة α, β وγ بالنسبة للزوايا, ومن جهة أخرى a, b وc بالنسبة للأضلاع. مبرهنة الكاشي هي:
.
تاريخ
فالعبارة 12 : في المثلث المنفرج الزاوية يكون مساحة المربع المنشأ على الضلع المقابل للزاوية المنفرجة مساوياً لمجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين مضافاً إلى هذا المجموع ضعف مساحة المستطيل الذي بعداه طول أحد هذين الضلعين وطول مسقط الضلع الآخر عليه. وفي الشكل المقابل المثلث ABC مثلث منفرج الزاوية في C والقطعة المستقيمة CH هي مسقط الضلع BC على الضلع AC (انظر شكل2) وبالتالي وطبقاً للنظرية يكون
تطبيقات
مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس, عندما تكون الزاوية : قائمة, أو عندما يكون: , المبرهنة تصبح:, و عكسيا.- الضلع الثالث لمثلث نعرف فيه زاوية والضلعين المكونين لها:
- ;
- زوايا مثلث نعرف فيه الأضلاع:
- .
البرهان
بتقسيم المساحات
من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:- , و هي مساحات لمربع أضلاعه على التوالي , و
- وهو ل متوازي أضلاع من جهة و يكونان زاوية , تغيير إشارة: تصبح الزاوية منفرجة تجعل دراسة الحالات ضرورية.
- بالوردي, lالمساحات , في اليسار, والمساحات و في اليمين ;
- بالأزرق, المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار ;
- بالرمادي, بعض المثلثات الإضافية, متطابقة مع المثلث ABC وبنفس العدد في التقسيمين.
- .
- بالوردي، المساحات , و في اليسار, والمساحات في اليمين ;
- بالأزرق, مرتين المثلث ABC, في اليمين كما في اليسار.
- .
باستعمال نظرية فيتاغورس
بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق