الخميس، 9 مايو 2013

التباديل


التبديلات الستة لثلاث كرات
التباديل (جمع التبديل)[1] عدد التشكيلات الممكنة لمجموعة جزئية من العناصر منتقاة من مجموعة كلية من العناصر مع مراعاة لأهمية تسلسل العناصر في تشكيلات المجموعة الجزئية.
و(p(n، k عدد التباديل،أي مجموع الكيفيات التي يمكن أن ننتقي بها أفراد المجموعة مع مراعاة الترتيب.
  • n : عدد أفراد المجموعة التي يراد ترتيبها.
  • k: يرمز إلى كيفية اخذ أفراد المجموعة.

محتويات

  • 1 التاريخ
    • 1.1 التباديل
    • 1.2 مثال
  • 2 تعميمات
    • 2.1 في نظرية الزمر
    • 2.2 في التوافقيات
  • 3 التبديلات في نظرية الزمر
    • 3.1 الرموز المستعملة
    • 3.2 الجداء والمقلوب
  • 4 انظر أيضا
  • 5 مراجع

التاريخ

كانت القاعدة التي تمكن من حساب عدد التبديلات لمجموعة ما، معروفة لدى الهنديين على الأقل في حوالي عام 1150م.

التباديل

إذا كان عدد عناصر المجموعة الجزئية(r) مساويا لعدد عناصر المجموعة الكلية(n), تدعى التراتيب في هذة الحالة بالتباديل وتعرف رياضيا كما يلي: ل(n)=ت(n، n)= n!/0!= n!=n×(n-1)×(n-2)×(n-3)×(n-4)×.......×3×2×1 حيث من المعلوم أن 0! = 1.

مثال

يراد سحب كرتين على التوالي من صندوق أسود يحوي أربع كرات ملونة سوداء وزرقاء وحمراء وصفراء. المطلوب حساب عدد الاحتمالات الممكنة لنتيجة السحب.
كون السحب يتم على التتالي فان هناك أهمية للترتيب لانه إذا كانت الكرة الأولى على سبيل المثال سوداء والثانية حمراء هذه النتيجة تختلف عن الحالة التي يكون فيها الكرة الأولى حمراء والثانية سوداء. بتطبيق القانون نحصل على عدد الاحتمالات الممكنة ت(2,4)=4!\(4-2)!=4×3×2×1 /2×1 = 12 احتمال ممكن و هي بالتفصيل كالتالي: (سوداء، حمراء) (حمراء,سوداء) (زرقاء,سوداء) (صفراء,سوداء) (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، حمراء) (صفراء، حمراء) (سوداء، صفراء) (حمراء، صفراء) (زرقاء، صفراء) (صفراء، زرقاء).

تعميمات

يستعمل مفهوم التبديلات في السياقات التالية :

في نظرية الزمر

في نظرية الزمر والمواضيع المتعلقة بها، تدرس التبديلات على المجموعات أيا كانت طبيعتها، بما في ذلك المجموعات غير المنتهية. تبديل لمجموعة ما يرمز إليها ب S، هي تقابل من S إلى S نفسها.

في التوافقيات

عدد إمكانات ترتيب k عنصر منتقاة من n عنصر بشرط الترتيب وعدم تكرار نفس العنصر في التشكيل. رياضيا تحسب التباديل وفقا للعلاقة التالية: p(n، k)=n!\(n-k)! حيث {n!} تعني n عاملي.

n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)

التبديلات في نظرية الزمر

الرموز المستعملة

هناك ثلاثة رموز مستعملة أساسية للتعبير عن تبديلات مجموعة منتهية ما. أولها استعمال سطرين اثنين، الأول يحتوي على عناصر المجموعة والثاني يحتوي على صور هاته العناصر بالتبديل. على سبيل المثال، يمكن اعتبار التبديل التالي للمجموعة {1،2،3،4،5} كما يلي :
\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix};
وهذا يعني أن σ تحقق ما يلي : σ(1)=2 و σ(2)=5 و σ(3)=4 و σ(4)=3 و σ(5)=1.
أما ثاني هاته الرموز المستعملة فيتمثل في إعطاء السطر الثاني فقط للتبديلة. هكذا، المثال السابق يعطي 25431 (قد توضع فاصلات بيت هاته الأعداد وخصوصا إذا كانت تحوي أزيد من رقم واحد).
أما الاستعمال الثالث فهو الترميز الدائري.
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
مرسلة بواسطة في

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

الاشتراك في: تعليقات الرسالة (Atom)