مدونة الرياضيات : قانون الجيب

المثلث ABC.

في حساب المثلثات، قانون الجيب هو قانون أو معادلة تربط بين أطوال أضلاع المثلث بجيوب زواياه الداخلية طبقاً للعلاقة:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

حيث c ،b ،a هي أطوال أضلاع المثلث، وC ،B ،A، هي الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع على الترتيب.
من المفيد أحياناً كتابة قانون الجيب بصورة مقلوبة:

$\frac {sin A}{a} = \frac {sin B}{b} = \frac{sin C}{c}$

أهمية قانون الجيب

يستخدم قانون الجيب بشكل رئيسي عند حساب طولي ضلعين مجهولين في مثلث بمعرفة طول الضلع الثالث و قياس أي زاويتين من زواياه الثلاث، تعد هذه المسألة من أشهر المسائل الرياضية في التثليث في حساب المثلثات.
يمكن استخدام قانون الجيب لمعرفة قياس زاوية ما في مثلث إذا علم طولا أي ضلعين فيه و قياس زاوية غير المحصورة بينهما، و في هذا النوع من المسائل قد نصل أحياناً إلى ما يعرف بالحالة المبهمة للمثلث، حيث نحصل على قيمتين مختلفتين للزاوية المحصورة بين الضلعين المعلومين.
يكثر استخدام قانون الجيب في مسائل التفكير العالي و في البراهين و الإثباتات في الهندسة الرياضية.

إثبات القانون

البرهان الأول

المثلث ABC.

في حساب المثلثات يمكن حساب مساحة المثلث بدلالة ضلعين و جيب الزاوية المحصورة بينهما بالعلاقة:

$k= \frac {1}{2} ab Sin C = \frac {1}{2} ac Sin B = \frac{1}{2} bc Sin A$

حيث K مساحة المثلث ABC.

$\frac {1}{2} ab Sin C = \frac {1}{2} ac Sin B$

←

$b Sin C = c Sin B$

←

$\frac {c}{Sin C} = \frac {b}{Sin B}$

و بتكرار الخطوات السابقة مرة أخرى نصل إلى ما تبقى من القانون.

البرهان الثاني

المثلث ABC.

نسقط عمود من أي زاوية في المثلث ولتكن A على الضلع المقابل لها يقطعه في N.
من المعلوم أن جيب الزاوية في المثلث القائم الزاية يساوي النسبة بين طولي الضلع المقابل لها و الوتر.
في المثلث ANC

$Sin C = \frac {AN}{b}$

← AN = b Sin C
و في المثلث ANB

$Sin B = \frac {AN}{c}$

← AN = c Sin B
مما سبق نصل إلى أن c Sin B = b Sin C و منها نصل إلى القانون.

الحالة المبهمة

الحالة المبهمة لمثلث مستوٍ

عند استخدام قانون الجيب لحساب قياس زاوية قد نحصل أحياناً على حلين مختلفين للمثلث، هذا يعني أنه يوجد مثلثان يتفقان في عناصر المثلث المعلومة و لكنهما يختلفان في قيم العناصر المجهولة. هذه الحالة تسمى الحالة المبهمة، و لا تحصل هذه الحالة إلا بتحقق الشروط التالية:

أن تكون العناصر المعلومة في المثلث هي طول ضلعين و ليكونا b ، a و قياس زاوية غير المحصورة بينهما، ولتكن الزاوية A.
أن تكون الزاوية المعلومة A زاوية حادة (A < 90°).
أن يكون الضلع المقابل للزاوية المعلومة (الضلع a في حالتنا) أصغر طولاً من الضلع الآخر المعلوم (الضلع b) أي أن a < b.
أن يكون الضلع a أطول من ارتفاع المثلث القائم الذي وتره b و إحدى زاوياه A (أي a > b sin A).

في الواقع هذه الحالة ناتجة من إحدى خواص الدوال المثلثية وبالتحديد دالة الجيب لأن (Sin x = Sin (180-x.
ولهذا سنحصل على قيمتين للزاوية B عند تحقق هذه الشروط الأربعة: إما أن تكون حادة B < 90 أو أن تكون منفرجة B > 90.

$B = \sin^{-1} \left({b \sin A \over a} \right)$

أو

$B= 180^\circ - \sin^{-1} \left({b \sin A \over a} \right)$

علاقة قانون الجيب بالدائرة المحيطة بالمثلث

المثلث ABC.

إذا كان R نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث ( الدائرة المحيطة بالمثلث أو الدائرة الخارجة للمثلث ) فإن:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

لإثبات ما سبق نرسم الدائرة المحيطة بالمثلث ABC و التي مركزها M و نصف قطرها R و نسقط عمود من M على AB يقطعه في N.
المثلث BMA متساوي الساقين فيه BM,AM يساويان نصف القطر R.
قياس الزاوية ACB يساوي نصف قياس الزاوية AMB (قياس زاوية محيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تشترك معها في نفس القوس).
و قياس الزاوية AMN يساوي نصف قياس الزاوية AMB ( من تطابق المثلثين AMN و BMN ).
← AMN = ACB
←